？？？2-第2/4页

    还注意到，假设W是真类，则MlI2与VΩ具有同样的图灵复杂度，即，每个集合都在另一个集合中是递归的。同样，假设W是真类，则集合VΩ(H(δ0+))={σ丨ZFC=σ“H(δ0+)╞σ”}恰好就是ThM(H(δ0+))。为了定义Ω逻辑的证明，我们需要回忆一些概念。一个拓扑空间是紧致的当，且仅当它的任意覆盖都有有穷子覆盖;它是豪斯道夫(Hausdorff)空间当且仅当它的任意两个不同点都有不相交的邻域。令S为紧致的豪斯道夫空间，称X?S在S中有贝尔性质当且仅当存在开集O?S使得对称差X△O在S中是贫乏集(meagerset).

    定义2.5(冯琦、麦基道、武丁，1992)一个实数的子集A具有通用贝尔性质当且仅当对任意紧致豪斯道夫空间S，任意连续映射f:S→R，A在S下的原象具有贝尔性质。

    定义2.6(武丁，1999)假设A?R具有通用贝尔性质，M是ZFC的传递模型。称M是强A-封闭的当且仅当对任意N，如果N是传递的且是M的脱殊扩张，则A∩N∈N

    定义2.7(武丁，1999)假设W是真类。假设T是可数理论，σ是语句，则T├Ωσ当且仅当存在A?R:

    1.A是通用贝尔集;

    2、对任意可数传递模型M，若M是强A-封闭的且T∈M，则M╞“T╞Ωσ”。

    定理2.8(武丁，1999)假设W是真类，并且假设T是可数理论，σ是语句，则对任意完全布尔代数B，

    T├Ωσ当且仅当VB╞“T╞Ωσ”。

    定理2.9(武丁，1999)假设W是真类。如果T├Ωσ，则T╞Ωσ。

    几猜想假设W是真类。对任意语句σ，╞Ωσ当且仅当├Ωσ

    叙述了什么是几猜想，我们就可以回到武丁的回应上了:

    定理2.10假设W是真类且几猜想成立，则Vn在集合VΩ(H(δ0+))中是递归的。根绝前面的分析，这实际上是说脱殊多宇宙立场违反了第一多宇宙定律。而下面的定理则是说，这一立场同样违反第二多宇宙定律。

    定理2.11假设W是真类并且Ω猜想成立，则V在集合H(δ0+)中可定义。所以，脱殊多宇宙真理观不过是一种更为精致的形式主义。当然，这种站在柏拉图主义立场上的挑战要依赖于Ω猜想的成立与否。接下来我们讨论一些更新的进展，它们似乎在某种意义上暗示这个猜想是真的。

    3终极L理论

    Ω猜想如果不成立，那一定是因为某个大基数公理，而且这个大基数公理超出了现有内模型计划。所谓“内模型计划”指的是构造一个类似于L的模型，在其中某个大基数公理成立。这项研究计划的动机源自于斯科特(D.Scott)的以下定理:

    定理3.1(斯科特，1961)假设存在一个可测基数，则V≠L。

    也就是说，哥德尔的L不能容纳可测基数，当然也不能容纳更大的基数。所以，这样的问题自然就被提了出来:

    是否存在一个类似于L的模型，它能容纳可测基数或更大的基数?

    很快，库能(K.Kunen)证明了

    定理3.2(库能，1970)假设U是κ上的κ完全的正则非主超滤，则在L[U]中，κ是一个可测基数，并且是唯一的可测基数

    这实际地开启了内模型的研究计划，并且在随后的年代里，这个计划取得了相当的成功。目前人们已经能够构造可以容纳强基数的内模型。

    但是，Ω猜想与已有的具有内模型的大基数都是相容的，所以要证明它不成立，我们需要容纳更大无穷的内模型。不唯如此，能证明Ω猜想不成立的大基数公理一定在大基数层谱中处于一个十分关键的位置，这一位置必定会有“来自内模型理论的证据”。(参见[9])...
    本章未完，请点击下一页继续阅读！